如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(RtΔFHE，H是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别

Question

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(RtΔFHE，H是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．
(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
(2)若，求此时管道的长度L；
(3)当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

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Answer 1

【分析】(1)由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数；
\n(2)若，结合(1)中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值；
\n(3)污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由(1)中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．

(1)，，
．
\n由于，，
\n所以，
\n所以．
\n所以，．
\n(2)当时，
，
(米)．
\n(3)，
\n设sinθ+cosθ=t，
\n则，
\n所以．
\n由于，
\n所以．
\n由于在上单调递减，
\n所以当即或时，
\nL取得最大值米．
\n答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．

【点评】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．