如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD

Question

如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm²．设∠AOC=xrad．

（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．

Answer 1

（1）由题意，S=(1)/(2)•40x•40+(1)/(2)•40•80•sin(π-x)
=800x+1600sinx（0≤x≤π）；
（2）S′=800+1600cosx，
∴0≤x≤(2π)/(3)，S′>0，x>(2π)/(3)，S′<0，
∴x=(2π)/(3)，S取得最大值(1600π)/(3)+800√(3)m²．