“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成

Question

“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100√(3)米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．

（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；
（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？

Answer 1

（1）在△ABC中，由余弦定理，得AB²+AC²-2AB•ACcosA=BC²，
所以x²+y²-2xycos120°=30000，
即x²+y²+xy=30000，…（4分）
又因为x>0，y>0，所以0<x<100√(3)，0<y<100√(3)．…（6分）
（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x+y的最小，
由（1）知，x²+y²+xy=30000，所以（x+y）²-30000=xy，
因为xy≤((x+y)/(2))2，所以(x+y)2-30000≤((x+y)/(2))2，…（9分）
则（x+y）²≤40000，即x+y≤200，
当且仅当x=y=100时，上式不等式成立．…（11分）
故当AB，AC边长均为100米时，所用材料长度最短为200米．…（12分）