（2014•天津）设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=32|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径

Question

（2014•天津）设椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=(√(3))/(2)|F₁F₂|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F₁，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F₂（c，0），
由|AB|=(√(3))/(2)|F₁F₂|，可得√(a2+b2)＝(√(3))/(2)×2c，化为a²+b²=3c²．
又b²=a²-c²，∴a²=2c²．
∴e=(c)/(a)＝(√(2))/(2)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=c²．因此椭圆方程为(x2)/(2c2)+(y2)/(c2)＝1．
设P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），可得

F1P

=（x₀+c，y₀），

F1B

=（c，c）．
∵

作业帮用户 2017-10-31

问题解析

（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F₂（c，0），由|AB|=

(√(3))/(2)|F₁F₂|．可得√(a2+b2)＝(√(3))/(2)×2c，再利用b²=a²-c²，e=(c)/(a)即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=c²．可设椭圆方程为(x2)/(2c2)+(y2)/(c2)＝1，设P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），可得

F1P

，

F1B

．利用圆的性质可得

F1B

⊥

F1P

，于是

F1B

•

F1P

=0，得到x₀+y₀+c=0，由于点P在椭圆上，可得(x20)/(2c2)+(y20)/(c2)＝1．联立可得3

x

2 0

+4cx0=0，解得P(−(4)/(3)c，(c)/(3))．设圆心为T（x₁，y₁），利用中点坐标公式可得T(−(2)/(3)c，(2)/(3)c)，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

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