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某人有n元钱,他每天买一次物品,每次买物品的品种很单调,或者买一元钱的甲物品,或者买两元钱的乙物品,或者买两元钱的丙物品,问他花完这n元钱有多少种不同的方式.

题目详情
某人有n元钱,他每天买一次物品,每次买物品的品种很单调,或者买一元钱的甲物品,或者买两元钱的乙物品,或者买两元钱的丙物品,问他花完这n元钱有多少种不同的方式.
▼优质解答
答案和解析
设an表示花完这n元钱的方案种数,
若n=1,则只能买甲,有一种方法,故a1=1,
若n=2,则可以买2个甲,或者1个乙或1个丙,即a2=3,
当n≥3时,花钱的方式由购买甲和购买乙购买丙的种数之和构成,
即an=an-1+an-2+an-2=an-1+2an-2
则当n≥3时,an+an-1=2(an-1+an-2),
即{an+1+an}是公比q=2的等比数列,首项为a2+a1=1+3=4,
则an+1+an=4•2n-1=2n+1
∴an+an-1=2n
两式相减得an+1-an-1=2n+1-2n=2n,(n≥2),
若n是奇数,an=2n-1+2n-3+…+22+a1=
1
3
(2n+1-1)
若n是偶数,an=2n-1+2n-3+…+23+a2=
1
3
(2n+1+1).
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