如图，某流动海洋观测船开始位于灯塔B的北偏东θ(0<θ<π2)方向，且满足2sin2(π4+θ)-3cos2θ=1，AB=AD，在接到上级命令后，该观测船从A点位置沿AD方向在D点补充物资后沿BD方向在C点投放浮标

Question

如图，某流动海洋观测船开始位于灯塔B的北偏东θ(0<θ<(π)/(2))方向，且满足2sin2((π)/(4)+θ)-√(3)cos2θ=1，AB=AD，在接到上级命令后，该观测船从A点位置沿AD方向在D点补充物资后沿BD方向在C点投放浮标，使得C点与A点的距离为4√(3)km，

（1）求θ的值；
（2）求浮标C到补给站D的距离．

Answer 1

（1）∵2sin²（(π)/(4)+θ）-√(3)cos2θ=1，
∴2sin²（(π)/(4)+θ）-1=√(3)cos2θ，
∴-cos（(π)/(2)+2θ）=√(3)cos2θ，
∴sin2θ-√(3)cos2θ=0
∴2sin（2θ-(π)/(3)）=0，
∵0<θ<(π)/(2)，
∴θ=(π)/(6)；
（2）由（1）∠ABC=(π)/(3)，
∵AB=AD，∴AB=AD=BD，
∴AD+DC=BC=8，
在△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC=(8sin(π)/(3))/(4√(3))，∴∠BAC=(π)/(2)．
解直角三角形ABC，可得AB=4，所以CD=4，即浮标C到补给站D的距离为4km．