(有图)在正方体ABCD-A1B1C1D1中1,(有图)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,N是DD1的中点,则异面直线A1M与C1N所成角的大小_____90度________2,(有图)已知E,F,G,H顺次是空间四边形ABCD各边中点,对角线BD=6,AC=4

Question

(有图)在正方体ABCD-A1B1C1D1中
1,(有图)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,N是DD1的中点,则异面直线A1M与C1N所成角的大小_____90度________
2,(有图)已知E,F,G,H顺次是空间四边形ABCD各边中点,对角线BD=6,AC=4,则EG^2+HF^2=________26______________

Answer 1

取A1A的中点Q,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,N是DD1的中点,
那么B1Q平行C1N
所以异面直线A1M与C1N所成角大小就变成直线B1Q与直线A1M的角,
因为角A1AB=角ABB1,
且AB=BB1,
Q为AA1中点,所以A1Q=AM
所以三角形QA1B1全等于三角形A1AM
因为角QA1B1=90度
所以角B1QA1+角A1B1Q=90度
因为三角形QA1B1全等于三角形A1AM
所以角A1AM=角A1B1Q
因此角B1QA1+角A1AM=90度
设B1Q与A1M交于O
这样,在三角形A1QO中,角A1OQ=90度
所以直线B1Q与直线A1M的角为90度
因此异面直线A1M与C1N所成角的大小是90度
因为对角线BD=6,AC=4,
由题意得
EH//=FG//=1/2BD=6/2=3
EF//=HG//=1/2AC=4/2=2
因为EFGH为平行四边形,所以EFG和HGF互补,cosEFG+cosHGF=0
根据余弦定理
EG^2=EF^2+FG^2-2EF*FG*cosEFG=4+9-12cosEFG=13-12cosEFG
HF^2=EH^2+HG^2-2EH*HG*cosHGF=9+4-12cosHGF=13-12cosHGF
EG^2+HF^2=(13-12cosEFG )+(13-12cosHGF)=26-12(cosEFG+cosHGF)=26
所以EG^2+HF^2=26