∫arctan(x/(1+x))^-2错了是^0.5

Question

∫arctan(x/(1+x))^-2
错了是^0.5

Answer 1

分部积分
原式=xarctan√(x/(1+x))-∫ x/(1+x/(1+x))d[√(x/(1+x))]
令√(x/(1+x))=u,x=u^2/(1-u^2)
=xarctan√(x/(1+x))-∫ (u^2/(1-u^2))/(1+u^2)du
=xarctan√(x/(1+x))+∫ u^2/[(u-1)(u+1)(1+u^2)]du
u^2/[(u-1)(u+1)(1+u^2)]=A/(u-1)+B/(u+1)+(Cu+D)/(1+u^2)
解得：A=1/4,B=-1/4,C=0,D=1/2
=xarctan√(x/(1+x))+1/4∫ 1/(u-1)du-1/4∫ 1/(u+1)du+1/2∫ 1/(u^2+1)du
=xarctan√(x/(1+x))+1/4ln|u-1|-1/4ln|u+1|+1/2arctanu+C
=xarctan√(x/(1+x))+1/4ln|√(x/(1+x))-1|-1/4ln|√(x/(1+x))+1|+1/2arctan√(x/(1+x))+C
=xarctan√(x/(1+x))+1/4ln|(√x-√(1+x))/(√x+√(1+x))|+1/2arctan√(x/(1+x))+C