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已知f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.(1)试判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)试解不等式f(x)+f(x﹣

题目详情
已知f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)试判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)试解不等式f(x)+f(x﹣2)<3.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可得 f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),
∴f(1)=0.
令y= ,可得 f(1)=0=f(x)+f( ),
∴f( )=﹣f(x).
设 x 2 >x 1 >0,则 >1,
∴f( )=f(x 2 )+f( )=f(x 2 )﹣f(x 1 )>0,即 f(x 2 )>f(x 1 ),
函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)不等式f(x)+f(x﹣2)<3 即 f[x(x﹣2)]<3.
由于 f(4)=f(2)+f(2)=2,f(8)=f(4)+f(2)=3,
故不等式即 f[x(x﹣2)]<f(8).
解得 2<x<4,
故不等式的解集为 (2,4).