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已知:线段AB.(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,与线段AB交于点D;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的基础上,点C为l上一个动点(点C不与点D重合),连接CB,过点A作AE⊥B
题目详情
已知:线段AB.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,与线段AB交于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的基础上,点C为l上一个动点(点C不与点D重合),连接CB,过点A作AE⊥BC,垂足为点E.
①当垂足E在线段BC上时,直接写出∠ABC度数的取值范围.
②请你画出一个垂足E在线段BC延长线上时的图形,并求证∠BAE=∠BCD.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,与线段AB交于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的基础上,点C为l上一个动点(点C不与点D重合),连接CB,过点A作AE⊥BC,垂足为点E.
①当垂足E在线段BC上时,直接写出∠ABC度数的取值范围.
②请你画出一个垂足E在线段BC延长线上时的图形,并求证∠BAE=∠BCD.
▼优质解答
答案和解析
(1)直线l即为所求作的直线.(见图1)
(2)①45°≤∠ABC<90°.
理由如下:连接AC,
当∠ACB≤90°时垂足E在线段BC上,
∵CD垂直平分AB,
∴CA=CB,
∴∠CAB=∠CBA,
∵2∠CBA+∠ACB=180°,
∴2∠CBA≥90°
∴∠CBA≥45°
∵∠CBA是锐角,
∴45°≤∠CBA<90°
②在图2中,
证明:∵线段AB的垂直平分线为l,
∴CD⊥AB,
∵AE⊥BE,
∴∠AEB=∠BDC=90°,
∴∠BAE+∠B=∠BCD+∠B=90°,
∴∠BAE=∠BCD.
(2)①45°≤∠ABC<90°.
理由如下:连接AC,
当∠ACB≤90°时垂足E在线段BC上,
∵CD垂直平分AB,
∴CA=CB,
∴∠CAB=∠CBA,
∵2∠CBA+∠ACB=180°,
∴2∠CBA≥90°
∴∠CBA≥45°
∵∠CBA是锐角,
∴45°≤∠CBA<90°
②在图2中,
证明:∵线段AB的垂直平分线为l,
∴CD⊥AB,
∵AE⊥BE,
∴∠AEB=∠BDC=90°,
∴∠BAE+∠B=∠BCD+∠B=90°,
∴∠BAE=∠BCD.
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