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(1)如图1,四边形ABCD中,AB=CB,ABC=60°,∠ADC=120°,请你猜想线段DA,DC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论;(2)如图2,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,若点P为四边形ABCD内一点,且
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(1)如图1,四边形ABCD中,AB=CB,ABC=60°,∠ADC=120°,请你猜想线段DA,DC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图2,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,若点P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120°,请你猜想线段PA,PD,PC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论.
(2)如图2,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,若点P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120°,请你猜想线段PA,PD,PC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,延长CD至E,使DE=DA.连接AC.
∵∠ADC=120°,
∴∠ADE=60°.
∵AD=DE,
∴△EAD是等边三角形.
∴AE=AE,∠DAE=60°.
∴AB=AC,∠ABC=60°,
∵∠BAD=60°+∠CAD,∠EAC=60°+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE.
故AD+CD=DE+CD=CE=BD.
(2)如图2,在四边形ABCD外侧作正三角形AB′D,连接AC,
那么△AB′D和△ABC都是等边三角形,
∴AB=AC,AB′=AD.
∵∠BAD=∠B′AC=60°+∠CAD,
∴△AB′C≌△ADB,得B′C=DB.
∵四边形AB′DP符合(1)中条件,
∴B′P=AP+PD.
连接B′C,
(ⅰ)若满足题中条件的点P在B′C上,
则B′C=PB′+PC,
∴B′′C=AP+PD+PC.
∴BD=PA+PD+PC.
(ⅱ)若满足题中条件的点P不在B′C上,
∵B′C<PB′+PC,
∴B′C<AP+PD+PC.
∴BD<PA+PD+PC.
综上,BD≤PA+PD+PC.
∵∠ADC=120°,
∴∠ADE=60°.
∵AD=DE,
∴△EAD是等边三角形.
∴AE=AE,∠DAE=60°.
∴AB=AC,∠ABC=60°,
∵∠BAD=60°+∠CAD,∠EAC=60°+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE.
故AD+CD=DE+CD=CE=BD.
(2)如图2,在四边形ABCD外侧作正三角形AB′D,连接AC,
那么△AB′D和△ABC都是等边三角形,
∴AB=AC,AB′=AD.
∵∠BAD=∠B′AC=60°+∠CAD,
∴△AB′C≌△ADB,得B′C=DB.
∵四边形AB′DP符合(1)中条件,
∴B′P=AP+PD.
连接B′C,
(ⅰ)若满足题中条件的点P在B′C上,
则B′C=PB′+PC,
∴B′′C=AP+PD+PC.
∴BD=PA+PD+PC.
(ⅱ)若满足题中条件的点P不在B′C上,
∵B′C<PB′+PC,
∴B′C<AP+PD+PC.
∴BD<PA+PD+PC.
综上,BD≤PA+PD+PC.
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