为什么二项式中奇数项系数和为2的n-1次方说一下推导的式子吧,谢谢啦

Question

为什么二项式中奇数项系数和为2的n-1次方
说一下推导的式子吧,谢谢啦

Answer 1

如：(a+b)^n=C(n取0)a^n*(b^0)+C(n取1)a^(n-1)*(b^1)+C(n取2)a^(n-2)*(b^2)+……+C(n取n)a^0*(b^n)
令a=b=1得：2^n=C(n取0)+C(n取1)+……+C(n取n-1)+C(n取n)——1式
第一,令a=1,b=-1且n为奇数时,得：0=C(n取0)-C(n取1)+……+C(n取n-1)-C(n取n)——2式
第二,令a=1,b=-1且n为偶数时,得：0=C(n取0)-C(n取1)+……-C(n取n-1)+C(n取n)——3式
当为第一种情况时：1式+2式：2^n=2C(n取0)+2C(n取2)+……+2C(n取n-1)
所以：奇数项系数和=2^(n-1)
同理,当为第二种情况时,奇数项系数和=2^(n-1)