一道数论题.n是正整数,我们让f(n)为n的所有正除数的和例如:f(n)=1+2+3+4+6+12=28如果f(n)=2n,那么正整数n就是完美的数字(a)表示出496是一个完美的数字(b)如果n=(2^m)*q,m是正整

Question

一道数论题.
n 是正整数,我们让 f(n) 为 n的所有正除数的和
例如:f(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28
如果 f(n) = 2n,那么正整数 n 就是完美的数字
(a) 表示出 496 是一个完美的数字
(b) 如果 n = (2^m)*q ,m是正整数,q是质数,请表示出
f(n) = (2^(m+1) -1)(q+1)
(c)证明:如果 2^p - 1 是一个质数,p是正整数.
那么 n = [2^(p-1)]*[(2^p)-1] 是一个完美的数字.

Answer 1

a.
496所有因子为
1 2 4 8 16 31 62 124 248 496
和为992=2*496
所以是完美数
b.
(2^m)*q 的所有正因子为
1,2,2^2,2^3,...,2^m,q,q*2,q*2^2,.,q*2^m,
全部相加即为
(1+2+2^2+2^3+...+2^m)+(q+q*2+q*2^2+...+q*2^m)
=(2^(m+1) -1)(q+1)
c.由上题结论
f(n) = (2^p -1)*2^p 恰好为n = [2^(p-1)]*[(2^p)-1]的2倍
所以是完美数