设a,b,c为正数,且abc=1,求证:1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c)

Question

设a,b,c为正数,且abc=1,求证:
1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c)

Answer 1

证明 设x,y,z为正数,根据abc=1,令a=yz/x^2,b=zx/y^2,c=xy/z^2.对所证不等式作置换,化简整理为:
x^2/(2x^2+yz)+y^2/(2y^2+zx)+z^2/(2z^2+xy)≤1 (1)
∑x^2*(2y^2+zx)*(2z^2+xy)≤∏(2x^2+yz)
12(xyz)^2+4∑y^3*z^3+xyz∑x^3≤9(xyz)^2+4∑y^3*z^3+2xyz∑x^3
xyz(x^3+y^3+z^3-3xyz)≥0.(1)式显然成立.证毕.
设x,y,z为正数,根据abc=1,令a=x/y,b=y/z,c=z/x.对所证不等式作置换,化简整理为:
y/(2y+x)+z/(2z+y)+x/(2x+z)≤1 (1)
3xyz≤y^2*z+z^2*x+x^2*y
3≤y/x+z/y+x/z.显然成立.