设m与n都是正数,证明根号7必在m/n与m+7n/m+n之间

Question

设m与n都是正数,证明根号7必在m/n与m+7n/m+n之间

Answer 1

若m/n=√7
m=√7n
(m+7n)/(m+n)=√7
若m/n>√7
m>√7n
(m+7n)/(m+n)=1+6n/(m+n)
m>√7n
m+n>(√7+1)n
0<1/(m+n)<1/[n(√7+1)]
0<6n/(m+n)<6n/[n(√7+1)]=6/(√7+1)=√7-1
所以1+6n/(m+n)所以m/n>√7时,(m+7n)/(m+n)若0m(m+7n)/(m+n)=1+6n/(m+n)
mm+n1/(m+n)>1/[n(√7+1)]
6n/(m+n)>6n/[n(√7+1)]=6/(√7+1)=√7-1
所以1+6n/(m+n)>√7
所以m/n所以m/n不等于√7时
根号7必在 m/n与(m+7n)/(m+n)之间