某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题

Question

某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：
（1）该考生得分为40分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为 (1)/(2) ，有一道题答对的概率为 (1)/(3) ，还有一道题答对的概率为 (1)/(4) ，所以，得40分的概率为  P=(1)/(2) ×(1)/(2) ×(1)/(3) ×(1)/(4) =(1)/(48) ．
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，
故所求概率为 P(ξ=20)=(1)/(2) ×(1)/(2) ×(2)/(3) ×(3)/(4) =(1)/(8) ；
同样可求得得分为25分的概率为 P(ξ=25)=

C

12

×(1)/(2) ×(1)/(2) ×(2)/(3) ×(3)/(4) +(1)/(2) ×(1)/(2) ×(1)/(3) ×(3)/(4) +(1)/(2) ×(1)/(2) ×(2)/(3) ×(1)/(4) =(17)/(48) ；
得分为30分的概率为 P(ξ=30)=(17)/(48) ；
得分为35分的概率为 P(ξ=35)=(7)/(48) ；
得分为40分的概率为 P(ξ=40)=(1)/(48) ．
于是ξ的分布列为：

ξ	20	25	30	35	40
P	(6)/(48)	(17)/(48)	(17)/(48)	(7)/(48)	(1)/(48)

故 Eξ=20×(6)/(48) +25×(17)/(48) +30×(17)/(48) +35×(7)/(48) +40×(1)/(48) =(335)/(12) ．
该考生所得分数的数学期望为 (335)/(12) ．