用洛必达法则求极限lim(x→∞)n(3^(1/n)-1).我的解是lim(n→∞)n(3^(1/n)-1)是∞*0型式未定式=lim(n→∞)(3^(1/n)-1)/(1/n)是0/0型=lim(n→∞)(3^(1/n)-1)'/(1/n)'=lim(n→∞)[(3^(1/n-1)/n)*(-1/n^2)]/(-1/n^2)=lim(n→∞)3^(1/n-1)

Question

用洛必达法则求极限
lim(x→∞)n(3^(1/n)-1).
我的解是lim(n→∞)n(3^(1/n)-1)是∞*0型式未定式
=lim(n→∞)(3^(1/n)-1)/(1/n)是0/0型
=lim(n→∞)(3^(1/n)-1)'/(1/n)'
=lim(n→∞)[(3^(1/n-1)/n)*(-1/n^2)]/(-1/n^2)
=lim(n→∞)3^(1/n-1)/n)
=lim(n→∞)3^(1/n)/3n) 这样我求的极限好象是0,但是书上答案是ln3,那就说明我的是错的!我觉得可能错在(3^(1/n)-1)的导数我求的
(3^(1/n-1)/n)*(-1/n^2)

Answer 1

(3^(1/x)-1)的导数为
-3^(1/x) ln 3 /x^2
原式
=lim(n->∞) (3^(1/n)-1)/(1/n)
=lim(n->∞) (-3^(1/n) ln 3 /n^2)/(-1/n^2)
=lim(n->∞) 3^(1/n) ln 3
=ln 3 lim(n->∞) 3^(1/n)
=ln3