如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为3米（将眼睛距地面的距离SA按3米处理）．（1）求摄影者到立柱

Question

如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为√(3)米（将眼睛距地面的距离SA按√(3)米处理）．
（1）求摄影者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影者观察彩杆MN的视角∠MSN（设为θ）是否存在最大值？若存在，请求出∠MSN取最大值时cosθ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA＝√(3)，故在Rt△SAB中，可求得BA＝(SA)/(tan30°)＝3，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC＝SC•tan30°＝√(3)，
又BC＝SA＝√(3)，故OB＝2√(3)，即立柱的高度为2√(3)米．…（6分）
（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），
则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S(3，−√(3))．…（8分）
故

SM

＝(cosα−3，sinα+√(3))，

SN

＝(−cosα−3，−sinα+√(3))，
∵

SM

•

SN

=（cosα-3）（-cosα-3）+（sinα+√(3)）（-sinα+√(3)）=11（10分）|

SM

|•|

SN

|＝√((cosα−3)2+(sinα+√(3))2)•√((−cosα−3)2+(−sinα+√(3))2)=√(13−(6cosα−2√(3)sinα))•√(13+(6cosα−2√(3)sinα))＝√(169−[4√(3)cos(α+(π)/(6))2)=√(169−48cos2(α+(π)/(6)))
由α∈[0，2π）知

|SM

|•|

SN

|∈[11，13]…（12分）
所以cos∠MSN＝(SM•SN)/(|SM|•|SN|)∈[(11)/(13)，1]，易知∠MSN为锐角，
故当视角∠MSN取最大值时，cosθ＝(11)/(13)．…（13分）
另∵cos∠MOS=-cos∠NOS
∴(MO2+SO2−SM2)/(2MO•SO)＝−(NO2+SO2−SN2)/(2NO•SO)
于是    得SM²+SN²=26
从而cosθ＝(SM2+SN2−MN2)/(2SM•SN)≥(SM2+SN2−MN2)/(SM2+SN2)＝(11)/(13)