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已知1x+1y=1,x>0,y>0,x2+y2+z2=2xyz,则x+y+z的最小值为.

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已知
1
x
+
1
y
=1,x>0,y>0,x2+y2+z2=2xyz,则x+y+z的最小值为 ___ .
▼优质解答
答案和解析
1
x
+
1
y
=1,∴x+y=xy.①
设x+y+z=k,则z=k-x-y,
代入x2+y2+z2=2xyz=x2+y2+(k-x-y)2=2xy(k-x-y)=2(x+y)[k-(x+y)],(由①)
2(x+y)2-2xy+k2-2k(x+y)=2k(x+y)-2(x+y)2
4(x+y)2-(4k+2)(x+y)+k2=0,
4
=(2k+1)2-4k2=4k+1,
x+y=(x+y)(
1
x
+
1
y
)≥4,
∴x+y=
(2k+1)+
4k+1
4
≥4
2k+1+
4k+1
≥16,
4k+1
≥15-2k,
化为k≥=7.5,或k<7.5且4k2-60k+225≤4k+1,
4k2-64k+224≤0,
k2-16k+56≤0,
∴k≥8-2
2

∴x+y+z的最小值是8-2
2

故答案为:8-2
2