已知1x+1y=1，x＞0，y＞0，x2+y2+z2=2xyz，则x+y+z的最小值为．

Question

已知(1)/(x)+(1)/(y)=1，x＞0，y＞0，x²+y²+z²=2xyz，则x+y+z的最小值为 ___ ．

Answer 1

(1)/(x)+(1)/(y)=1，∴x+y=xy．①
设x+y+z=k，则z=k-x-y，
代入x²+y²+z²=2xyz=x²+y²+（k-x-y）²=2xy（k-x-y）=2（x+y）[k-（x+y）]，（由①）
2（x+y）²-2xy+k²-2k（x+y）=2k（x+y）-2（x+y）²，
4（x+y）²-（4k+2）（x+y）+k²=0，
(△)/(4)=（2k+1）²-4k²=4k+1，
x+y=（x+y）（(1)/(x)+(1)/(y)）≥4，
∴x+y=((2k+1)+√(4k+1))/(4)≥4
2k+1+√(4k+1)≥16，
√(4k+1)≥15-2k，
化为k≥=7.5，或k＜7.5且4k²-60k+225≤4k+1，
4k²-64k+224≤0，
k²-16k+56≤0，
∴k≥8-2√(2)，
∴x+y+z的最小值是8-2√(2)．
故答案为：8-2√(2)