∫sinx(cosxζ+isinxζ)dx,定积分的积分范围是负无穷到正无穷（式子里写不下,写到这里）

Question

∫ sinx(cosxζ+isinxζ)dx,定积分的积分范围是负无穷到正无穷（式子里写不下,写到这里）

Answer 1

因为sinxcosxζ是关于x的奇函数,所以在-∞到+∞的积分为0
isinxsinxζ是关于x的偶函数,所以
∫ sinx(cosxζ+isinxζ)dx
=2∫(0->+∞) isinxsinxζdx
=i ∫(0->+∞) [cos(1-ζ)x-cos(1+ζ)x]dx
=i { [sin(1-ζ)x]/(1-ζ) - [sin(1+ζ)x]/(1+ζ) } |(0->+∞)
=0
最后那个x=+∞时候的值,可以把sin(1-ζ)x和sin(1+ζ)x展开成泰勒级数,一目了然