一条因式分解题{2X1^2/1+X1^2=X2{2X2^2/1+X2^2-X3{2X3^2/1+X3^2-X4……{2Xn^2/1+Xn^2-X1求X1,X2,X3,X4……Xn其中X1是一个X一个小1,我打不出来就这样了

Question

一条因式分解题
{2X1^2/1+X1^2=X2
{2X2^2/1+X2^2-X3
{2X3^2/1+X3^2-X4
……
{2Xn^2/1+Xn^2-X1
求X1,X2,X3,X4……Xn
其中X1是一个X一个小1,我打不出来就这样了

Answer 1

将n个等式相乘：[2X1^2/(1+X1^2)]*[2X2^2/(1+X2^2)]*...*[2Xn^2/(1+Xn^2)]= X1*X2*X3*...Xn
若X1*X2*X3*...Xn=0,则X1,X2,X3...Xn中必有一个为0,根据题设的递推关系不难得到X1=X2=X3=...=Xn=0
若X1*X2*X3*...Xn不为0,等式两边同时除以X1*X2*X3*...Xn,再同时乘以(1+X1^2)(1+X2^2)...(1+Xn^2)即得：
(2X1)(2X2)...(2Xn)= (1+X1^2)(1+X2^2)...(1+Xn^2)---（1）
再根据算术平均值>=几何平均值易得：
(1+X1^2)(1+X2^2)...(1+Xn^2)>= (2X1)(2X2)...(2Xn)---（2）---取等条件:X1=X2=X3=...=Xn=1
对比（1）,（2）两式即得：X1=X2=X3=...=Xn=1
所以X1=X2=X3=...=Xn=0 或 X1=X2=X3=...=Xn=1