用一块面积为12平方米得铁皮制作一个无盖的长方体形状的水柜,问其长、宽、高各为多少时容积最大请用多元函数最大值求?提示设容积V=xyz、2xz+2yz+xy=12、v=f(x,y)=(12-xy)xy/2(x+y)

Question

用一块面积为12平方米得铁皮制作一个无盖的长方体形状的水柜,问其长、宽、高各为多少时容积最大
请用多元函数最大值求?提示设容积V=xyz、2xz+2yz+xy=12、v=f(x,y)=(12-xy)xy/2(x+y)

Answer 1

设长 x 米、宽 y 米、高 z 米,则容积 V = xyz .
由均值不等式可得：
(2xz+2yz+xy)/3 ≥ [(2xz)(2yz)(xy)]^(1/3) = (4V²)^(1/3) ；当 2xz = 2yz = xy 时,等号成立；
已知,2xz+2yz+xy = 12 ,则有：4 ≥ (4V²)^(1/3) ；
可得：V ≤ √(4³/4) = 4 ；当 2xz = 2yz = xy = (2xz+2yz+xy)/3 = 4 时,等号成立；
所以,当 x=2、y=2、z=1 ,即长 2 米、宽 2 米、高 1 米时容积最大,为 4 立方米.