已知正实数a,b满足a√(1-b^2)+b√(1-a^2)=1,求证:a^2+b^2=1我现在在读初三

Question

已知正实数a,b满足a√(1-b^2)+b√(1-a^2)=1,求证:a^2+b^2=1 我现在在读初三

Answer 1

证明：
可设a²+b²=x.
把条件等式:
a√(1-b²)+b√(1-a²)=1两边平方,可得
a²(1-b²)+b²(1-a²)+2ab√[(1-a²)(1-b²)]=1
去括号,整理可得
2ab√[1+a²b²-(a²+b²)]=1+2a²b²-(a²+b²)
∴2ab√(1+a²b²-x)=1+2a²b²-x
上式两边平方,整理可得
4a²b²(1+a²b²-x)=1+4(a²b²)²+x²+4a²b²-2x-4xa²b²
整理可得
x²-2x+1=0
即(x-1)²=0
∴x=1
即a²+b²=1.