线性代数求一正交变换化二次型成标准型f=x1^2+x3^2+2*x1*x2-2*x2*x3

Question

线性代数
求一正交变换化二次型成标准型
f=x1^2+x3^2+2*x1*x2-2*x2*x3

Answer 1

二次型的矩阵 A =
1 1 0
1 0 -1
0 -1 1
|A-λE| =
1-λ 1 0
1 -λ -1
0 -1 1-λ
c1+c3
1-λ 1 0
0 -λ -1
1-λ -1 1-λ
r3-r1
1-λ 1 0
0 -λ -1
0 -2 1-λ
= (1-λ)[-λ(1-λ)-2]
= (1-λ)(λ^2-λ-2)
= (1-λ)(2-λ)(-1-λ).
所以 A 的特征值为 1,2,-1.
(A-E)X=0 的基础解系为:a1=(1,0,1)^T
(A-2E)X=0 的基础解系为:a2=(1,1,-1)^T
(A+E)X=0 的基础解系为:a3=(-1,2,1)^T
单位化得
b1=(1/√2)(1,0,1)^T
b2=(1/√3)(1,1,-1)^T
b3=(1/√6)(-1,2,1)^T
令P=(b1,b2,b3),则 X=PY 为正交变换,且f=y1^2+2y2^2-y3^2.