三人同行七十里,五马二十一人骑,七子回家半个月,求完整公式和解释

Question

三人同行七十里,五马二十一人骑,七子回家半个月,求完整公式和解释

Answer 1

原题的完整应是“三人同行七十里,五马二十一人骑,七子回家半个月,除百零五是佳期!” "半个月"暗指15."除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就105、105地往下减,使之小于105；这相当于用105去除,求出余数.
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加.加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解.
按这四句口诀暗示的方法计算人数可得：
70×2+21×3+15×4=263,
263=2×105+53,
所以,人数至少有53人.
在这种方法里,我们看到：70、21、15这三个数很重要,稍加研究,可以发现它们的特点是：
70是5与7的倍数,而用3除余1；
21是3与7的倍数,而用5除余1；
15是3与5的倍数,而用7除余1.
因而
70×2是5与7的倍数,用3除余2；
21×3是3与7的倍数,用5除余3；
15×4是3与5的倍数,用7除余4.
如果一个数除以a余数为b,那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a,余数仍然是b.所以,把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求.一般地,
70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)
能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k"的要求.除以105取余数,是为了求合乎题意的最小正整数解.