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求证:存在无穷多个互不相似的三角形,其边长a,b,c为正整数且a^2,b^2,c^2成等差数列
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求证:存在无穷多个互不相似的三角形,其边长a,b,c为正整数且a^2,b^2,c^2成等差数列
▼优质解答
答案和解析
将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互不相似,且无穷
当an^2,bn^2,cn^2成等差数列,则bn^2-an^2=cn^2-bn^2
分解得:(bn+an)(bn-an)=(cn+bn)(cn-bn)
选取关于n的一个多项式,4n(n^2-1)做两种途径的分解4n(n^2-1)=(2n-2)(2n^2+2n)=(2n^2-2n)(2n+2)4n(n^2-1)
对比目标式,构造 {an=n^2-2n-1bn=n^2+1cn=n^2+2n-1(n≥4),等差成立
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边.
下证互不相似.
任取正整数m,n,若△m,△n相似:则三边对应成比例
(m^2-2m-1)/(n^2-2n-1)=(m^2+1)/(n^2+1)=(m^2+2m-1)/(n^2+2n-1)
由比例的性质得:m-1/n-1=m+1/n+1⇒m=n,与约定不同的值矛盾,故互不相似
当an^2,bn^2,cn^2成等差数列,则bn^2-an^2=cn^2-bn^2
分解得:(bn+an)(bn-an)=(cn+bn)(cn-bn)
选取关于n的一个多项式,4n(n^2-1)做两种途径的分解4n(n^2-1)=(2n-2)(2n^2+2n)=(2n^2-2n)(2n+2)4n(n^2-1)
对比目标式,构造 {an=n^2-2n-1bn=n^2+1cn=n^2+2n-1(n≥4),等差成立
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边.
下证互不相似.
任取正整数m,n,若△m,△n相似:则三边对应成比例
(m^2-2m-1)/(n^2-2n-1)=(m^2+1)/(n^2+1)=(m^2+2m-1)/(n^2+2n-1)
由比例的性质得:m-1/n-1=m+1/n+1⇒m=n,与约定不同的值矛盾,故互不相似
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