如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．

Question

如图，抛物线y=ax²+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，
∴△=4a²-4a=0，解得a₁=0（舍去），a₂=1，
∴抛物线解析式为y=x²+2x+1；
（2）∵y=（x+1）²，
∴顶点A的坐标为（-1，0），
∵点C是线段AB的中点，
即点A与点B关于C点对称，
∴B点的横坐标为1，
当x=1时，y=x²+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-1，0），B（1，4）代入得

-k+b=0

k+b=4

，解得

k=2

b=2

，
∴直线AB的解析式为y=2x+2．