如图（a），水平地面上固定一倾角为37°的斜面，一宽为l=0.43m的有界匀强磁场垂直与斜面向上，磁场边界与斜面底边平行．在斜面上由静止释放一正方形金属线框abcd，线框沿斜面下滑时，ab

Question

如图（a），水平地面上固定一倾角为37°的斜面，一宽为l=0.43m的有界匀强磁场垂直与斜面向上，磁场边界与斜面底边平行．在斜面上由静止释放一正方形金属线框abcd，线框沿斜面下滑时，ab、cd边始终与磁场边界保持平行．以地面为零势能面，从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中，线框的机械能E与位移s之间的关系如图（b）所示，图中①、②均为直线段．已知线框的质量为m=0.1kg，电阻为R=0.06Ω．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²）求：

（1）线框与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）ab边刚进入磁场时，线框的速度v₁；
（3）线框刚进入磁场到恰好完全进入磁场所用的时间t；
（4）线框穿越磁场的过程中，线框中产生的最大电功率P_m．

Answer 1

（1）根据线段①，减少的机械能：△E₁=W_f1=μmgcos37°s₁；
由图有：△E₁=（0.900-0.756）J=0.144J，其中s₁=0.36m
解得  μ=0.5
（2）未进入磁场时，线框的加速度 a=g（sin37°-μcos37°）=10×（0.6-0.5×0.8）=2m/s²
v₁=ab边刚进入磁场时，线框的速度 v₁=√(2as1)=√(2×2×0.36)m/s=1.2m/s
（3）线框进入磁场的过程中，减小的机械能等于克服摩擦力和安培力所做的功，由图线②可知，此时机械能线性减小，说明安培力也为恒力，线框做匀速运动．
△E₂=W_f2+W_A=（f+F_A）s₂=（0.756-0.666）J=0.09J
其中，s₂为线框的边长，解得s₂=0.15m
所以线框刚进入磁场到恰好完全进入磁场所用的时间 t=(s2)/(v1)=(0.15)/(1.2)s=0.125s
（4）线框进入磁场后始终做匀加速直线运动，当ab边要离开磁场时，开始做减速运动，此时线框受到的安培力最大，速度最大，线框内的电功率最大
由v₂²=v₁²+2a（l-s₂），可求得v₂=1.6m/s
在线框匀速进入磁场时，安培力 F_A=mgsin37°-μmgcos37°=0.2N
又因为 F_A=BIL=(B2L2v1)/(R)   
可求出B²L²=0.01T²m²
所以线框内的最大电功率 P_m=I²R=(B2L2v22)/(R)=(0.01×1．62)/(0.06)=0.43W
答：（1）金属线框与斜面间的动摩擦因数为0.5；
（2）ab边刚进入磁场时，线框的速度v₁为1.2m/s；
（3）金属线框刚进入磁场到恰完全进入磁场所用的时间为0.125s；
（4）金属线框穿越磁场的过程中，线框中产生的最大电功率为0.43W．