如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，（1）求∠APB的度数．（2）求正方形ABCD的面积．

Question

如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，

（1）求∠APB的度数．
（2）求正方形ABCD的面积．

Answer 1

（1）如图1，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合；
则∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=1；
由勾股定理得：PP′²=2²+2²=8；
∵P′C²=1²=1，PC²=3²=9，
∴PC²=PP′²+P′C²，
∴∠PP′C=90°；而∠BP′P=45°，
∴∠BP′C=135°，∠APB=∠BP′C=135°；

（2）过点B作BE⊥BP，且BE=BP，连接PE、CE、AC，则PE=√(BP2+BE2)=2√(2)．
∵∠ABC=90°=∠PBE，
∴∠ABP=∠CBE．
∵AB=BC，BP=BE，
在△ABP与△CBE中，
∵

AB=BC

∠ABP=∠CBE

BP=BE

，
∴△ABP≌△CBE（SAS），
∴∠APB=∠CEB，CE=PA=1．
∵PE²+CE²=9=PC²，
∴∠PEC=90°，
∴∠APB=∠CEB=135°，
∴∠APE=∠APB+∠BPE=180°，
∴A、P、E三点共线，
∴AE=PA+PE=1+2√(2)，
∴S_△ACE=(1)/(2)AE•CE=(1+2√(2))/(2)，S_△PBE=(1)/(2)PB•BE=2，
∴S_△ABC=S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC
=S_△EBC+S_△PBC+S_△PAC
=S_△PBE+S_△ACE
=(5+2√(2))/(2)，
∴S_{正方形ABCD}=2S_△ABC=5+2√(2)．