设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），

Question

设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．

（1）r为何值时，S有最大值？
（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．

Answer 1

（1）设半圆的半径为OA=r（米），
可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，
可得矩形的高为(1)/(2)（10-2r-πr），
窗子的透光面积为S=(1)/(2)πr²+(1)/(2)（10-2r-πr）•2r
=（-2-(1)/(2)π）r²+10r，（0<r<(10)/(2+π)），
当r=-(10)/(2(-2-(1)/(2)π))=(10)/(4+π)（米），S有最大值；
（2）由题意可得r=1时，窗子的半圆部分的造价为(1)/(2)π•1²•300=150π（元），
窗子的矩形部分的造价为2•(1)/(2)（10-2-π）•100=800-100π（元），
可得总造价为150π+800-100π=800+50π>900，
则r=1时，900元的造价不够用．