人对均匀细杆一端施加力,方向垂直于杆,要将杆从地上慢慢的无滑动的抬到竖直位置,试求杆与地间最小摩擦系数

Question

人对均匀细杆一端施加力,方向垂直于杆,要将杆从地上慢慢的无滑动的抬到竖直位置,试求杆与地间最小摩擦系数

Answer 1

设杆与地面的角度为θ,人施加于杆一端的力为F,杆自身重力G,杆长L,杆受地面支持力N,杆与地面摩擦系数为μ
在每一个θ,杆都视为静止
由力矩平衡得：
FL-G(cosθ)L/2=0
F=(Gcosθ)/2.一
垂直方向受力平衡得：
Fcosθ+N=G
N=G-Fcosθ.二
水平方向受力平衡得：
Fsinθ≤μN
μ≥F(sinθ)/N.三
将一、二代入三：
μ≥(G(cosθ)/2)sinθ/(G-(G(cosθ)^2)/2)
=sinθcosθ/(2-(cosθ)^2)
=sin2θ/(3-cos2θ)
=(2tanθ/(1+(tanθ)^2))/(3-(1-(tanθ)^2)/(1+(tanθ)^2))
=1/(2tanθ+1/(tanθ))
上式对于θ∈(0,π/2)恒成立
所以min(μ)=max(1/(2tanθ+1/(tanθ)))=((2)^0.5)/4≈0.3536