已知函数f(x)=(2a+1/a)-(1/a^x),x∈[m,n](m

Question

已知函数f(x)=(2a+1/a)-(1/a^x),x∈[m,n](m

Answer 1

：∵f（x）的定义域和值域都是【m,n】,（0＜m＜n）
由（1）知,f（x）= （－1／a²）／x＋（2a＋1）／a ,（a＞0）在区间【m,n】上为增函数.
∴f（x）min=f（m）=（－1／a²）／m＋（2a＋1）／a =m ,①
∴f（x）max=f（n）=（－1／a²）／n＋（2a＋1）／a =n,②
由①－②得：
【（－1／a²）／m】－【（－1／a²）／n】=m－n
∴（1／a²）×（1／n－1／m）=m－n
∴（1／a²）×【（m－n）／mn】=m－n
又0＜m＜n,∴m－n＞0,mn＞0
∴a²=mn ∴a=√（mn）＞0
结合题意,又由①②知,对于方程（－1／a²）／x＋（2a＋1）／a = x有两个异正实根m,n.
即：方程x²－【（2a＋1）／a ）】x＋1／a²= 0有两个异正实根m,n.
∴判别式Δ=【（2a＋1）／a ）】²－4·1·1／a²＞0
即：【（2a＋1）²－4】／a²＞0 ＜＝＞（2a＋1）²－4＞0,∴（2a－1）·（2a＋3）＞0
∴a＜－3／2 或a＞1／2 ,又a＞0 ∴a＞1／2
由韦达定理得：m＋n =（2a＋1）／a =2＋1／a＞0 ③
m·n=1／a²＞0 ④
显然③④对于a＞1／2时成立.
∴a＞1／2
∴a的取值范围为（1／2,＋∞）