在解析函数中,若f(z)不恒为常数,证明它在零处的泰勒系数不全为零,若f(z)为解析函数,f(z)不恒为常数,证明在z=0处它的泰勒系数不全为零

Question

在解析函数中,若f(z)不恒为常数,证明它在零处的泰勒系数不全为零,
若f(z)为解析函数,f(z)不恒为常数,证明在z=0处它的泰勒系数不全为零

Answer 1

反设f的n阶导数在z=0处的值全为0,n=1,2,3,….
对f(z)在z=0处进行Taylor展开,得f(z)=f(0)+f'(0)*z+[f''(0)/2]*z^2+…=f(0),从而f(z)≡f(0)恒为一常数.
但这与题设矛盾,故假设不真.
所以f(z)在z=0处的Taylor系数不全为0.#