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fx=lnx/x+1/x当x大于等于1时不等式fx大于k/x+1恒成立求k取值范围
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fx=lnx/x+1/x当x大于等于1时不等式fx大于k/x+1恒成立求k取值范围
▼优质解答
答案和解析
f(x)=(lnx)/x+1/x,当x≥1时,不等式f(x)≥k/(x+1)恒成立,求k取值范围.
当x≥1时,不等式
f(x)≥k/(x+1)
等价于
(x+1)[(lnx)/x+1/x]≥k
令g(x)=(x+1)[(lnx)/x+1/x]=(1+1/x)(lnx+1)则
g'(x)=(x²-lnx)/x²
令h(x)=x²-lnx则
h'(x)=2x-1/x
当x≥1时
h'(x)=2x-1/x≥1＞0
故h(x)=x²-lnx递增
h(x)≥ h(1)=1＞0
则
g'(x)=(x²-lnx)/x²＞0
从而g(x)=(1+1/x)(lnx+1)在x∈[1,+∞)上递增
g(x)≥g(1)=2
综上,
实数k的取值范围为k∈(-∞,2]
当x≥1时,不等式
f(x)≥k/(x+1)
等价于
(x+1)[(lnx)/x+1/x]≥k
令g(x)=(x+1)[(lnx)/x+1/x]=(1+1/x)(lnx+1)则
g'(x)=(x²-lnx)/x²
令h(x)=x²-lnx则
h'(x)=2x-1/x
当x≥1时
h'(x)=2x-1/x≥1＞0
故h(x)=x²-lnx递增
h(x)≥ h(1)=1＞0
则
g'(x)=(x²-lnx)/x²＞0
从而g(x)=(1+1/x)(lnx+1)在x∈[1,+∞)上递增
g(x)≥g(1)=2
综上,
实数k的取值范围为k∈(-∞,2]
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