一个圆周上共有12个点,以它们为顶点连成三角形,使每个点恰是一个三角形的顶点,并且各个三角形的边都互不相交,问有多少种连法?

Question

一个圆周上共有12个点,以它们为顶点连成三角形,使每个点恰是一个三角形的顶点,并且各个三角形的边都互不相交,问有多少种连法?

Answer 1

6.【解】我们采用递推的方法
(1)如果圃上只有3个点；那么只有一种连法
(2)如果圆上有6个点,除点所在三角形的三顶点外,剩下的三个点一定只能在所在三角形的一条边所对应的圆弧上,表1给出这时有可能的连法,
1.
共有3种连法
(3)如果圆上有9个点,考虑所在的三角形此时,其余的6个点可能分布在①所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上,另三个点在另一边所对的弧上.在表2中用“＋”号表示它们分布在不同的边所对的弧.如果是情形①,则由(2),这六个点有三种连法；如果是情形②,则由①,每三个点都只能有一种连法.
表2
共有12种连法.
(4)最后考虑圆周上有12个点.同样考虑所在三角形．剩下9个点的分布有三种可能,①每三个点在所在三角形的一条边对应的孤上；②有6个点是在一段弧上,另三点在另一段弧上；③9个点都在同一段孤上.得到表3．
表3
共有12＋3＋3＋12＋3＋1＋3＋3＋3＋12＝55种
答：共有55种不同的连法