（2013•河北区二模）如图所示，光滑水平面上有正方形线框abcd，边长为L、电阻为R、质量为m．虚线PP′和QQ′之间有一垂直水平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，宽度为H，且H＞L．线框在

Question

（2013•河北区二模）如图所示，光滑水平面上有正方形线框abcd，边长为L、电阻为R、质量为m．虚线PP′和QQ′之间有一垂直水平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，宽度为H，且H＞L．线框在恒力F₀作用下开始向磁场区域运动，cd边运动位移s后进入磁场，ab边进入磁场前某时刻，线框已经达到平衡状态．当cd边开始离开磁场时的一瞬间，撤去恒力F₀，重新施加外力F，使得线框做加速度大小为(F0)/(m)的匀减速直线运动，最终离开磁场．求：
（1）cd边刚进入磁场时ab边两端的电压U_ab？
（2）cd边从PP′位置到QQ′位置的过程中安培力所做的总功？
（3）取cd边刚要离开磁场的时刻为起始时刻，写出在线框离开磁场的过程中，外力F随时间t变化的关系式？

Answer 1

（1）线圈进入磁场前线圈做匀加速运动，牛顿第二定律和速度公式加速度为：a=(F0)/(m)
cd刚进入磁场时速度为：v=at
而线圈通过的位移为：s=(1)/(2)at2
解得：v=√((2F0s)/(m))
cd边刚进入磁场时产生的感应电动势为：E=BLv
此时cd边的电势差为：U=(3)/(4)E
联立以上各式得：U=(3BL)/(4)•√((2F0s)/(m))．
（2）进入磁场后达到平衡时，设此时速度为v₁，则有：F₀=BIL=(B2L2v1)/(R)
得：v₁=(F0R)/(B2L2)
根据动能定理得：F₀（L+s）+W_安=(1)/(2)m

v

2 1

−0
W_安=-F₀（L+s）+(mF20R2)/(2B4L4)．
（3）平衡后到开始离开磁场时，设线圈开始离开磁场时速度为v₂
F₀（H-L）=(1)/(2)mv₂²-(1)/(2)mv₁²
所以，离开磁场是有：(B2L2v)/(R)−F＝ma＝F0
而v=v₂-at，
联立相关方程得：F=(B2L2)/(R)√((F20R2)/(B4L4)+(2F0(H−L))/(m))−F0−(B2L2F0t)/(mR)
答：（1）cd边刚进入磁场时ab边两端的电压是(3BL)/(4)•√((2F0s)/(m))；
（2）cd边从PP′位置到QQ′位置的过程中安培力所做的总功是-F₀（L+s）+(mF20R2)/(2B4L4)．
（3）取cd边刚要离开磁场的时刻为起始时刻，在线框离开磁场的过程中，外力F随时间t变化的关系式F＝(B2L2)/(R)√((F20R2)/(B4L4)+(2F0(H−L))/(m))−F0−(B2L2F0t)/(mR)