如果方程xx-2+x-2x+2x+ax(x-2)=0只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．

Question

如果方程(x)/(x-2)+ (x-2)/(x)+ (2x+a)/(x(x-2))=0只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．

Answer 1

去分母，将原方程两边同乘x（x-2），整理得2x²-2x+（a+4）=0．①
方程①的根的情况有两种：
（1）方程①有两个相等的实数根，即△=4-4•2（a+4）=0．
解得a=-(7)/(2)．
当a=-(7)/(2)时，解方程2x²-2x+（-(7)/(2)+4）=0，得x₁=x₂=(1)/(2)．
（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．
（i）当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．
当a=-4时，解方程2x²-2x=0，x（x-1）=0，x₁=0或x₂=1．
而x₁=0是增根，即这时方程①的另一个根是x=1．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．
（ii）当x=2时，代入①式，得2×4-2×2+（a+4）=0，即a=-8．
当a=-8时，解方程2x²-2x-4=0，（x-2）（x+1）=0，x₁=2或x₂=-1．
而x₁=2是增根，即这时方程①的另一个根是x=-1．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．
因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是-(7)/(2)，-4，-8，其对应的原方程的根依次为(1)/(2)，1，-1．