设矩阵A=(001,a1b,100)有三个线性无关特征向量,求a与b应满足的条件?为什么属于特征值1的线性无关的特

Question

设矩阵A=(0 0 1,a 1 b,1 0 0)有三个线性无关特征向量,求a与b应满足的条件?为什么属于特征值1的线性无关的特

Answer 1

|A-λE|=
-λ 0 1
a 1-λ b
1 0 -λ
= (1-λ)(λ^2-1)
= (1-λ)(λ+1)(λ-1)
所以A的特征值为 1,1,-1.
由于A有3个线性无关的特征向量,所以k重特征值有k个线性无关的特征向量
所以属于特征值1的线性无关的特征向量有2个
所以 r(A-E)=3-2=1
A-E =
-1 0 1
a 0 b
1 0 -1
-->
-1 0 1
0 0 a+b
0 0 0
所以 a+b = 0.