用17根火柴不难搭成一个2×3可以搭出的方阵矩形,如图所示,若用1000根火柴,那么可以搭多少种方正矩形呢

Question

用17根火柴不难搭成一个2×3可以搭出的方阵矩形,如图所示,若用1000根火柴,那么可以搭多少种方正矩形呢

Answer 1

设搭出的方阵矩形是MxN(M≤N)的,那么用的火柴数为1000=(M+1)N+(N+1)M=2MN+M+N
整理有 M=(1000-N)/(2N+1),
其中：M、N均为正整数,M≤N,2N+1+N≤1000,即 1≤M≤N≤333
有几组满足条件的解,就有多少种方阵了.
1000=(M+1)N+(N+1)M=2MN+M+N
整理为：1000+1/2=2MN+M+N+1/2,
2001=4MN+2M+2N+1=(2M+1)(2N+1)
2001=3x23x29
所以2M+1=3,23,或29,即 M=1,11,14,N=333,43,34
故有三组解,即可搭出3种方阵.