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假如有五个数字分别要放置在编号为12345的位置上(设计成一组一组的序列),如果序列在每个位置都不重叠相同数字的话能排5组,如果不管重叠多少个数字的话(全部排列组合)应该是120

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假如有五个数字分别要放置在编号为12345的位置上(设计成一组一组的序列),如果序列在每个位置都不重叠相同数字的话能排5组,如果不管重叠多少个数字的话(全部排列组合)应该是120组,现在的问题是如果让它重叠一个、两个、三个数字分别能排多少组?用公式怎么算?
▼优质解答
答案和解析
当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用Dn表示,那么Dn-1就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况:(1)把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有Dn-2种方法;(2)第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有Dn-1方法;
综上得到,
Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1),
特殊地,D1=0,D2=1,
所以,D3=2×(0+1)=2,
D4=3×(1+2)=9,
重叠三个:有C53×D2=10×1=10组,
重叠二个:有C52×D3=10×2=20组,
重叠一个:(即1放在1号位,或2放在2号位,…,且只有一个数字对号),有C51×D4=5×9=45组,
公式为Cnm×Dn-m(其中n为元素的个数,m为重叠的个数)