法国哲学家布丰做的投针试验为什么能得出圆周率的近似值?

Question

法国哲学家布丰做的投针试验为什么能得出圆周率的近似值?

Answer 1

公元1777年的一天,法国科学家D?布丰(D.Buffon 1707～1788)的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的.
试验开始,但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线.接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半.然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我.”
客人们不知布丰先生要玩什么把戏,只好客随主意,一个个加入了试验的行列.一把小针扔完了,把它捡起来又扔,而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头.最后,布丰先生高声宣布：“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针2212次,其中与平行线相交的704次.总数2212与相交数704的比值为3.142.”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说：“先生们,这就是圆周率π的近似值!”
众客哗然,一时疑议纷纷,大家全部感到莫名期妙：“圆周率π?这可是与圆半点也不沾边的呀!”
布丰先生似乎猜透了大家的心思,得意洋洋地解释道：“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,还能得到π的更精确的近似值.不过,要想弄清其间的道理,只好请大家去看敝人的新作了.”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书.
π在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实.由于投针试验的问题,是布丰先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题,布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d,小针长为l,投针的次数为n,所以投的针当中与平行线相交的次数的m,那么当n相当大时有：π≈(2ln)/(dm)
在上面故事中,针长l恰等于平行线间距离d的一半,所以代入上面公式简化得：π≈n/m
值得一提的是,后来有不少人步布丰先生的后尘,用同样的方法来计算π值.其中最为神奇的要算意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini).他在1901年宣称进行了多次的投针试验,每次投针数为3408次,平均相交数为2169次,代入布丰公式求得π≈3.1415929.这与π的精确值相比,一直到小数点后第七位才出现不同!用如此轻巧的办法,求得如此高精度的π值,这真是天工造物!倘若祖冲之再世,也会为之惊讶得瞠目结舌!
不过,对于拉兹瑞尼的结果,人们一向非议甚多,究其原因,也不能说都没有道理,因为在数学中可以证明,最接近π真值的,分母较小的几个分数是：
(1) (22)/7≈3.14 (疏率)
(2) (333)/(106)≈3.1415
(3) (355)/(113)≈3.1415929 (密率)
(4) (103993)/(33102)≈3.141592653
而拉兹瑞尼居然投出了密率,对于万次之内的投掷,不可能有更好的结果了.难怪有不少人提出怀疑：“有这么巧吗?”但多数人鉴于拉兹瑞尼一生勤勉谨慎,认为他确实是“碰上了好运气”.事实究竟如何,现在也无从考查了!
我想,喜欢思考的美女帅哥们,一定还想知道布丰先生投针试验的原理,其实这也没什么神秘,下面就是一个简单而巧妙的证明.
找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离d.可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点.因此,如果圆圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n.
现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd的铁丝.显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交.
由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数可望也是一样的.这就是说,当长为πd的铁丝扔下n次时,与平行线相交的交点总数应大致为2n.
现在转而讨论铁丝长为l的情形.当投掷次数n增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比,因而有：m=kl,式中k是比例系数.
为了求出k来,只需注意到,对于l=πk的特殊情形,有m=2n.于是求得k=(2n)/(πd).代入前式就有：m≈(2ln)/(πd)从而π≈(2ln)/(dm)
这,就是著名的布丰公式!
利用布丰公式,我们还可设计出求：根2,根3,根5等数的近似值的投针试验呢!亲爱的读者,难道你不想试一试吗?这只需把l/d选得等于你那个数就行,不过这时的π要当成知道的.嘿嘿,在数学书上找的.