不等式证明已知0≤a,b,c≤1,求证a/(bc+1)+b/(ca+1)+c/(ab+1)≤2

Question

不等式证明
已知0≤a,b,c≤1,求证a/(bc+1)+b/(ca+1)+c/(ab+1)≤2

Answer 1

证明：
可先证明a/(bc+1)≤2a/(a+b+c)……(1)
上式等价于a+b+c≤2bc+2
即(b-1)(c-1)+bc+1≥a
而a、b、c∈[0,1],上式显然成立,故(1)成立.
同理可得：
b/(ca+1)≤2b/(a+b+c)……(2)
c/(ab+1)≤2c/(a+b+c)……(3)
故(1)+(2)+(3),得
a/(bc+1)+b/(ca+1)+c/(ab+1)≤2.
即原不等式成立!