设曲线l位于xOy平面的第一象限内,L上任意一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.｜MA|=|OA|,且L过点...设曲线l位于xOy平面的第一象限内,L上任意一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.｜MA|=|OA|,且L

Question

设曲线l位于xOy平面的第一象限内,L上任意一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.｜MA|=|OA|,且L过点...
设曲线l位于xOy平面的第一象限内,L上任意一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.｜MA|=|OA|,且L过点（1.5,1.5）,求L方程
此题来自 一阶微分方程

Answer 1

设L上任一点(x0,y0),切线方程为y-y0=f'(x)(x-x0),与y轴交点A(0,y0-f'(x0)x0),由|MA|^2=|OA|^2得微分方程为x^2+x^2*(f'(x))^2=y^2-2xyf'(x)+x^2*(f'(x))^2,即2xyy'+x^2-y^2=0.令函数g=y^2,得xg'(x)+x^2-g(x)=0,且条件L过点(3/2,3/2)变为g(3/2)=(3/2)^2.微分方程通解为g(x)=Cx-x^2,再由g(3/2)=(3/2)^2知C=3,因此y=根号(g)=根号(3x-x^2),定义域为0