（2013•惠州一模）已知函数f（x）=logmx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（an）}是首项为2，公差为2的等差数列．（1）若bn=an•f（an），当m=22时，求数列{bn}的前n项和Sn；（2）设cn=an•lgan，如

Question

（2013•惠州一模）已知函数f（x）=log_mx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）若b_n=a_n•f（a_n），当m=(√(2))/(2)时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=a_n•lga_n，如果{c_n}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得f（a_n）=2+2（n-1）=log_ma_n，可得2n=log_ma_n，…（1分）
∴a_n=m²ⁿ．…（2分）
b_n=a_n•f（a_n）=2n•m²ⁿ．
∵m=(√(2))/(2)，∴b_n=a_n•f（a_n）=2n•（(√(2))/(2)）²ⁿ=n•（(1)/(2)）^n-1，…（3分）
∴S_n=1•（(1)/(2)）⁰+2•（(1)/(2)）¹+3•（(1)/(2)）²+…+n•（(1)/(2)）^n-1，①
(1)/(2)S_n=1•（(1)/(2)）¹+2•（(1)/(2)）²+3•（(1)/(2)）³+…+n•（(1)/(2)）ⁿ，②…（4分）
①-②，得(1)/(2)S_n=（(1)/(2)）⁰+（(1)/(2)）¹+（(1)/(2)）²+…+（(1)/(2)）^n-1-n•（(1)/(2)）ⁿ=(1-(1)/(2n))/(1-(1)/(2))-n•((1)/(2))n…（6分）
∴化简得：S_n=-（n+2）（(1)/(2)）^n-1+4  …（7分）
（2）由（