x趋近于0正,求[(1+x)^(1/x)/e]^(1/x)的极限答案应该是e^(-1/2)参考书上的答案我看不懂,

Question

x趋近于0正,求[(1+x)^(1/x)/e]^(1/x)的极限
答案应该是e^(-1/2)参考书上的答案我看不懂,

Answer 1

lim[(1+x)^(1/x)/e]^(1/x)
=e^{limln[(1+x)^(1/x)/e]/x}
=e^{lim([ln(1+x)]/x-1)/x}
=e^{lim(ln(1+x)-x)/x²}
洛必达法则
=e^{lim(1/(1+x)-1)/(2x)}
再用一次
=e^{lim[-1/(1+x)²]/2}
=e^([-1/(1+0)²]/2)
=e^(-1/2)