（2014•揭阳三模）设函数h（x）=2px-3lnx-px-1和函数f（x）=lnx-px+1（p∈R）．（Ⅰ）若函数g（x）=h（x）+f（x）在定义域内为单调函数，求p的取值范围；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）证

Question

（2014•揭阳三模）设函数h（x）=2px-3lnx-(p)/(x)-1和函数f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
（Ⅰ）若函数g（x）=h（x）+f（x）在定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明：(ln22)/(22)+(ln32)/(32)+…+(lnn2)/(n2)＜n-1（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

（Ⅰ）∵h（x）=2px-3lnx-(p)/(x)-1，f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
∴g（x）=h（x）=2px-3lnx-(p)/(x)-1+lnx-px+1=px-2lnx-(p)/(x)
∴g′（x）=(px2−2x+p)/(x2)，
若g（x）单调递增则px²-2x+p≥0，在（0，+∞）上恒成立，
则p≥(2x)/(x2+1)=(2)/(x+(1)/(x))在（0，+∞）上恒成立，
又 x+(1)/(x)≥2当且仅当x=1时取等号，
∴0＜(2)/(x+(1)/(x))≤1，p≥1，
若g（x）单调递减p≤(2)/(x+(1)/(x))在（0，+∞）上恒成立
∴p≤0；
（Ⅱ）∵f（x）=lnx-px+1定义域为（0，+∞），
∴f′(x)＝(1)/(x)−p＝(1−px)/(x)，
当p≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上无极值点
当p＞0时，令f′（x）=0，∴x=(1)/(p)∈（0，+∞），f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，(1)/(p)）	(1)/(p)	（(1)/(p)，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

从上表可以看出：当p＞0时，f（x）有唯一的极大值点x=(1)/(p)；
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2，
∴lnn²≤n²-1，
∴(lnn2)/(n2)≤f（n）=(n2−1)/(n2)-(lnn2)/(n2)=1-(1)/(n2)，<