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(2014•揭阳三模)设函数h(x)=2px-3lnx-px-1和函数f(x)=lnx-px+1(p∈R).(Ⅰ)若函数g(x)=h(x)+f(x)在定义域内为单调函数,求p的取值范围;(Ⅱ)求函数f(x)的极值点;(Ⅲ)证
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(2014•揭阳三模)设函数h(x)=2px-3lnx-
-1和函数f(x)=lnx-px+1(p∈R).
(Ⅰ)若函数g(x)=h(x)+f(x)在定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅲ)证明:
+
+…+
<n-1(n∈N*,n≥2).
p |
x |
(Ⅰ)若函数g(x)=h(x)+f(x)在定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅲ)证明:
ln22 |
22 |
ln32 |
32 |
lnn2 |
n2 |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵h(x)=2px-3lnx-
-1,f(x)=lnx-px+1(p∈R).
∴g(x)=h(x)=2px-3lnx-
-1+lnx-px+1=px-2lnx-
∴g′(x)=
,
若g(x)单调递增则px2-2x+p≥0,在(0,+∞)上恒成立,
则p≥
=
在(0,+∞)上恒成立,
又 x+
≥2当且仅当x=1时取等号,
∴0<
≤1,p≥1,
若g(x)单调递减p≤
在(0,+∞)上恒成立
∴p≤0;
(Ⅱ)∵f(x)=lnx-px+1定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=
−p=
,
当p≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上无极值点
当p>0时,令f′(x)=0,∴x=
∈(0,+∞),f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
从上表可以看出:当p>0时,f(x)有唯一的极大值点x=
;
(Ⅲ)令p=1,由(Ⅱ)知,lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1,
∵n∈N,n≥2,
∴lnn2≤n2-1,
∴
≤f(n)=
-
=1-
,<
p |
x |
∴g(x)=h(x)=2px-3lnx-
p |
x |
p |
x |
∴g′(x)=
px2−2x+p |
x2 |
若g(x)单调递增则px2-2x+p≥0,在(0,+∞)上恒成立,
则p≥
2x |
x2+1 |
2 | ||
x+
|
又 x+
1 |
x |
∴0<
2 | ||
x+
|
若g(x)单调递减p≤
2 | ||
x+
|
∴p≤0;
(Ⅱ)∵f(x)=lnx-px+1定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=
1 |
x |
1−px |
x |
当p≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上无极值点
当p>0时,令f′(x)=0,∴x=
1 |
p |
x | (0,
|
| (
| ||||||
f′(x) | + | 0 | - | ||||||
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ |
1 |
p |
(Ⅲ)令p=1,由(Ⅱ)知,lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1,
∵n∈N,n≥2,
∴lnn2≤n2-1,
∴
lnn2 |
n2 |
n2−1 |
n2 |
lnn2 |
n2 |
1 |
n2 |
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