（2014•肇庆一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上．（1）求a1，a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若bn=1anan+1an+2，求证数列{bn}的前n

Question

（2014•肇庆一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上．
（1）求a₁，a₂；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=(1)/(anan+1an+2)，求证数列{b_n}的前n项和T_n＜(1)/(60)．

Answer 1

（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴Sn＝n2+2n(n∈N*)，
∴a₁=S₁=3，
又a1+a2＝S2＝22+2×2＝8，
∴a₂=5；
（2）由（1）知，Sn＝n2+2n(n∈N*)，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．
由（1）知，a₁=3=2×1+1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1；
（3）证明：由（2）得，
bn＝(1)/((2n+1)(2n+3)(2n+5))＝(1)/(4)[(1)/((2n+1)(2n+3))−(1)/((2n+3)(2n+5))]
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1)/(4)[(1)/(3×5)−(1)/(5×7)+(1)/(5×7)−(1)/(7×9)+…+(1)/((2n+1)(2n+3))−(1)/((2n+3)(2n+5))]
=(1)/(4)[(1)/(3×5)−(1)/((2n+3)(2n+5))]=(1)/(60)−(1)/(4(2n+3)(2n+5))＜(1)/(60)．