（2006•肇庆）如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）

Question

（2006•肇庆）如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的(1)/(9)？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的(1)/(9)，
则有：(1)/(2)（6-2x）x=(1)/(9)×3×6，即x²-3x+2=0，（2分）
解方程，得x₁=1，x₂=2，（3分）
经检验，可知x₁=1，x₂=2符合题意，
所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的(1)/(9)．（4分）

（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，
因此有(AM)/(AN)＝(DC)/(DA)或(AM)/(AN)＝(DA)/(DC)（5分）
即(t)/(6−2t)＝(3)/(6)①，或(t)/(6−2t)＝(6)/(3)②（6分）
解①，得t=(3)/(2)；解②，得t=(12)/(5)（7分）
经检验，t=(3)/(2)或t=(12)/(5)都符合题意，
所以动点M，N同时出发后，经过(3)/(2)秒或(12)/(5)秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）