已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.若x属于正自然数,试求f(x)的表达式本题说是2009株洲市高考模拟题来着~

Question

已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.
若x属于正自然数,试求f(x)的表达式
本题说是2009株洲市高考模拟题来着~

Answer 1

令x=1,y=-1,代入：f(0)=f(1)=1;令y=1,代入原式：f(x+1)=f(x)+2(x+1)（需要注意的是x=0时,这个式子不成立）移项后：f(x+1)-f(x)=2x+2这个显然是个递推式,下面用n代替x进行演绎：显然f(2)-f(1)=2*1+2f(3)-f(2)=2*2+2…...