（2014•荆州模拟）在△ABC中，∠C=90°，M是BC边上的点，且2|CM|=|MB|，若∠BAM=30°，则sin∠BAC=3232．

Question

（2014•荆州模拟）在△ABC中，∠C=90°，M是BC边上的点，且2|CM|=|MB|，若∠BAM=30°，则sin∠BAC=

(√(3))/(2)

(√(3))/(2)

．

Answer 1

如图所示，设|BC|=a，|AC|=b，|AB|=a，
∵2|CM|=|MB|，∴|CM|=(1)/(3)a，|MB|=(2)/(3)a，
在△ABM中，利用正弦定理得：(c)/(sin∠AMB)=(|MB|)/(sin∠BAM)，即(c)/(sin∠AMB)=((2)/(3)a)/((1)/(2))，
∴sin∠AMB=(3c)/(4a)，
∴cos∠CAM=cos（(π)/(2)-∠AMC）=sin∠AMC=sin∠AMB=(3c)/(4a)，
在Rt△ACM中，cos∠CAM=(|AC|)/(|AM|)=(b)/(√(b2+((1)/(3)a)2))，
可得(3c)/(4a)=(b)/(√(b2+((1)/(3)a)2))，
两边平方得：(9c2)/(16a2)=(9(a2+b2))/(16a2)=

b2

作业帮用户 2017-11-12 举报

问题解析

如图所示，设|BC|=a，|AC|=b，|AB|=a，根据2|CM|=|MB|，表示出|CM|=(1)/(3)a，|MB|=(2)/(3)a，在三角形ABM中，利用正弦定理表示出sin∠AMB，即为sin∠AMC，在直角三角形ACM中，利用诱导公式得到cos∠CAM=sin∠AMC，表示出cos∠CAM，再利用锐角三角函数定义表示出cos∠CAM，两者相等得到a=√(3)b，再利用勾股定理表示出c，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠BAC的值．

名师点评

本题考点：

正弦定理．

考点点评：

此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

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